1.设酉相似于，，证明：酉相似于。
证明：酉相似于，则存在酉矩阵，使得，同理，存在酉矩阵，使得，则有：
同理，，且有：
(资料图片)
即酉相似于。证毕！
2.设为阶正规矩阵，将其分块为，使得对角线上的子块都是方块，证明：若的第行子块除了外均为，则的第列子块除了外其他均为。证明：设对角线子块个数为，考虑和的第项，则有：
则由上式，知。证毕！
3.试给出Schur三角化定理的直接证明。证明：设矩阵为矩阵。用归纳法，命题对显然，假定命题对成立，则时，必有一个特征向量，模长为，特征值为，则将其化为规范正交基并排为矩阵，其中则有：
则有，则由归纳假设，存在酉矩阵，使得，其中为一个上三角矩阵，令，则有：
其中容易验证为酉矩阵。证毕！
4.设为的特征根，为的特征根，且，证明：属于的特征向量与的属于的特征向量正交。证明：设属于的特征向量与的属于的特征向量分别为
则有，则。证毕！
5.设为实对称矩阵，证明：若的一组正交的特征向量所对应的特征根都不是实数，且互不共轭，则这组特征向量的实部和虚部所构成的向量组为正交的。证明：只需要证明任两个不同的向量的实部、虚部正交。事实上，由，则有：，则的实部、虚部分别为，有：
类似可得其余三式成立，证毕！
6.求下列实对称矩阵在正交变换下的标准形及所用的正交矩阵：解：（1）
则其有这三根。设，则有：
则有，设，则，则为基础解系，其为规范的。
同理可得为两组基础解系，且为规范的。又其分属不同的特征根，则其必规范。从而为规范正交组，则此时标准形为
对应的正交矩阵为
（2）
则其有二重根和根。设，则对，有：
则有，设，则，得基础解系为，同理可得时的单位基础解系为，对前两者进行Gram-Schmidt正交化，则，则此时的标准形为
对应的正交矩阵为
7.设均为正规矩阵，证明：当且仅当的特征多项式相同。证明：必要性：
充分性：
的特征多项式相同，则酉相似于同一对角矩阵，从而相似。证毕！
8.设均为正规矩阵且有相同的特征向量，证明：为正规矩阵。证明：由条件，可以取线性无关的个特征向量，其中为矩阵，其必为一组规范正交基，记，则有对角阵，使得，则，这组规范正交基也为的特征向量，从而存在对角矩阵，使得，则，则为正规矩阵。证毕！
9.设为正规矩阵，证明：与同解。证明： 此为4.2节第7题的等价命题。证毕！
10.证明秩数为的实对称矩阵必可分解为个秩数为的矩阵的和。证明：由3.8节第4题，立得结论。证毕！
11.证明实的反对称矩阵的秩数必为偶数。证明：反对称矩阵可以正交相似于，其中，则实的反对称矩阵的秩数必为偶数。证毕！
